Drucker-Prager
Drucker-Pragerův materiálový model je nejjednodušším typem materiálového modelu, který lze pro modelování nelineární odezvy zemin použít. Na rozdíl od Mohr-Coulombova modelu je Drucker-Pragerova plocha plasticity hladká a v prostoru hlavních napětí je zobrazena jako cylindrický kužel. Jak je patrné z obrázku, je podmínka plasticity podobně jako v případě Mohr-Coulombova modelu závislá na středním efektivním napětí σmeff. Verze modelu implementovaná v programu GEO5 MKP vychází z předpokladu triaxiálové extenze. Jinými slovy, průmět plochy plasticity fDP do deviatorické roviny prochází vnitřními vrcholy Mohr-Coulombova hexagonu, θ = - 30°, kde θ je tzv. Lodeův úhel.
a) plocha plasticity v prostoru hlavních napětí, b) průmět do deviatorické a c) meridiální roviny
Drucker-Pragerův model umožňuje zohlednit dilatanci materiálu (vývoj kladných objemových plastických přetvoření během plastického smýkání) zavedením úhlu dilatance ψ. Vývoj plastických deformací je řízen tzv. plastickým potenciálem gDP. Zatímco sklon funkce plasticity je dán úhlem vnitřního tření Mφ = Mφ(φ), tak sklon plastického potenciálu je řízen úhlem dilatance Mψ = Mψ(ψ). Pokud platí ψ = φ, tak hovoříme o tzv. asociovaném zákonu plastického tečení, v opačném případě hovoříme o neasociovaném zákonu plastického tečení. Další podrobnosti lze nalézt v teoretické příručce.
Vzhledem k tomu, že zemina nakonec dosáhne tzv. kritického stavu (nulový přírůstek objemového plastického přetvoření během plastického smýkání), je vhodné míru diatance omezit. Za tímto účelem vyžaduje model definovat maximální hodnotu čísla pórovitosti emax, pro které předpokádáme dosažení kritického stavu, tedy ψ = 0. Modelový příklad je uveden zde. Vliv hodnoty úhlu dilatance na predikci odezvy zeminy v porovnání s jejím skutečným chováním je ilustrován zde. Pro přehlednost uvádíme na následujícím obrázku grafickou ilustraci vývoje objemového přetvoření s omezením dilatance.
Vývoj objemové přetvoření s omezením dilatance
Základní materiálové parametry definující Drucker-Pragerův model jsou uvedeny v následující tabulce. Tyto parametry lze použít při řešení úlohy za předpokladu odvodněných podmínek nebo v případě neodvodněných podmínek, Typ úlohy (1): výpočet v efektivních napětích (cef, φef). Při volbě Typ úlohy (2): výpočet v efektivních napětích (Su) je hodnota efektivního součinitele koheze c nahrazena hodnotou neodvodněné smykové pevnosti Su. Hodnota efektivního úhlu vnitřního tření φ = φu je nastavena na nulu, φ = 0. Drucker-Pragerova podmínka plasticity tak přejde v Miseovu podmínku plasticity, viz níže. Tuhostní parametry se však předpokládají efektivní. V případě neodvodněných podmínek se obecně předpokládá, že zemina nedilatuje, tudíž ψ = 0 pro obě varianty výpočtu.
Z tabulky materiálových parametrů je zřejmé, že Drucker-Pragerův model umožňuje také modelovat, podobně jako Modifikovaný elastický model, rozdílné chování zeminy při primárním zatížení a odtížení a opětovném přitížení zavedením modulu odtížení/přitížení Eur, viz také Mohr-Coulombův model.
Symbol | Jednotky | Popis | |
| [MPa] | Modul pružnosti | |
| [MPa] | Modul odtížení/přitížení | |
| [-] | Poissonovo číslo | |
| [kPa] | Efektivní součinitel koheze | |
| [°] | Efektivní úhel vnitřního tření | |
| [°] | Úhel dilatance | |
| [kN/m3] | Objemová tíha | |
| [-] | Počáteční číslo pórovitosti odpovídající stavu na konci 1. fáze | |
| [-] | Maximální číslo pórovitosti pro ukončení dilatance (při omezení dilatance) | |
| [1/K] | Součinitel teplotní roztažnosti (při uvažování teploty) |
V případě neodvodněných podmínek Typ úlohy (3): výpočet v totálních napětích Su přejde Drucker-Pragerova podmínka plasticity na podmínku Misesovu. Podobně Mohr-Coulombova podmínka plasticity přejde na podmínku Trescovu. Grafické vyjádření je patrné z obrázku. V tomto případě je φ = ψ = 0. Jedná se tedy o asociovaný zákon plastického tečení. Vzhledem k tomu, že modelujeme objemově nestlačitelný materiál, volíme hodnotu Poissonova čísla v rozsahu (0.49 - 0.499). Poznamenejme, že pokud bychom volili hodnotu Poissonova čísla příliš blízkou hodnotě 0.5, může dojít k numerickému zhroucení výpočtu. V nejlepším případě budou výsledky velmi nepřesné. Bližší informace lze nalézt v teoretické příručce.
a) plocha plasticity v prostoru hlavních napětí, b) průmět do meridiální a deviatorické roviny
Materiálové parametry definující Misesovu, případně Trescovu, podmínku plasticity jsou uvedeny v následující tabulce. V případě Misesovy podmínky plasticity je hodnota Lodeova úhlu θ konstantní rovna θ = ± 30°.
Symbol | Jednotky | Popis | |
Eu | [Pa] | Neodvodněný modul pružnosti | |
Su | [Pa] | Neodvodněná smyková pevnost | |
ν | [-] | Poissonovo číslo uvažované v rozsahu (0.49 - 0.499) | |
γ | [kN/m3] | Objemová tíha | |
α | [1/K] | Součinitel teplotní roztažnosti (při uvažování teploty) |
Drucker-Pragerův model umožňuje řešit, podobně jako Mohr-Coulombův model, úlohu stability, a to jak standardní úlohu stability svahu, tak i úlohu stability řešenou v rámci dané fáze budování. V obou případech je tato úloha řešena postupnou redukcí parametrů smykové pevnosti c, φ zavedením redukčního parametru ζ tak, že
kde c, φ jsou skutečné parametry smykové pevnosti zadané zeminy a cd, φd jsou parametry redukované. Stupeň stability FS pak určíme ze vztahu
Obdobným způsobem je redukován i úhel dilatance ψ v případě, že ψ ≠ 0.
Podrobná implementace Drucker-Pragerova modelu do programu GEO5 MKP je popsaná v teoretické příručce.