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Método de Análise

O método de análise está dividido em vários passos, que incluêm a definição da matriz de rigidez global considerando as condições de apoio (apoios fixos ou molas, em juntas ou linhas, em subsolos elásticos), definição do vetor de carga e análise do sistema de equações através do método de Gauss, com as decomposições da matriz de rigidez segundo Cholesky, que consiste numa matriz simétrica. Os valores das variáveis primárias wz, φx e φy, calculadas para os nós das malhas, são utilizados para determinar as forças internas mx, my, mxy, vx e vy, juntamente com os valores derivados m1, m2 e os valores das reações desenvolvidas nos apoios.

Elementos 2D

A qualidade dos resultados da análise de uma laje, através do método dos elementos finitos, é bastante influenciada pelo tipo de elementos da laje. A formulação desta análise explora a deformação variante do método dos elementos finitos para obter elementos triangulares e retangulares, denotados como DKMT e DKMQ (Discrete Kirchhoff-Mindlin Triangle e Quadrilateral).

A formulação dos elementos da laje implementada no programa baseia-se na teoria discreta de Kirchhoff para a flexão de lajes delgadas, que pode ser considerada como um caso especial da teoria de Mindlin, desenvolvida com base nas hipóteses seguintes:

  • a compressão da laje na direção z é desprezável em comparação com o deslocamento vertical Wz
  • as normais ao centro da laje permanecem planas após a deformação, mas não necessariamente normais ao centro da laje deformada
  • a tensão normal σz é desprezável em comparação com as tensões σx, σy

Os elementos DKMT e DKMQ têm 9 e 12 graus de liberdade, respetivamente - três deslocamentos independentes em cada nó:

Wz

-

deflexão na direção z

φx

-

rotação sobre o eixo x

φy

-

rotação sobre o eixo y

Os elementos respeitam os seguintes critérios:

  • a matriz de rigidez tem classificação correta (não são gerados estados de energia nulos)
  • cumprir o teste do trecho
  • ser adequado para a análise de lajes delgadas
  • boas propriedades de convergência
  • não ser computacionalmente dispendioso

No caso de malhas bem geradas, os elementos retangulares são preferenciais, uma vez que apresentam melhor comportamento que os elementos triangulares.

Elementos 1D

A laje pode ser reforçada por vigas, dimensionadas com base no elemento da viga unidimensional com torsão embutida e compatível com elementos de lajes (mais detalhes na bibliografia). As variáveis primárias são Wz, φx e φy, que correspondem às forças internas M1, M2 e V3 (momentos de torção e de flexão e força de cisalhamento). A viga é caracterizada pelo momento de inércia It e I2 (torsão, flexão), área A e área de cisalhamento As. Estes parâmetros podem ser calculados pelo programa, com base no tipo de secção transversal. Na análise, são definidas matrizes de rigidez locais 6x6 que são posteriormente assembladas na matriz de rigidez global da estrutura.

Bibliografia:

I. Katili, A new discrete Kirchhoff-Mindlin element based on Mindlin-Reissner plate theory and assumed shear strain fields - part I: An extended DKT element for thick-plate bending analysis, Int. J. Numer. Meth. Engng., Vol. 36, 1859-1883 (1993).

I. Katili, A new discrete Kirchhoff-Mindlin element based on Mindlin-Reissner plate theory and assumed shear strain fields - part II: An extended DKQ element for thick-plate bending analysis, Int. J. Numer. Meth. Engng., Vol. 36, 1885-1908 (1993).

Z. Bittnar, J. Sejnoha, Numericke metody mechaniky, CVUT, Praha, 1992.

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